设f(x)连续，且满足f(x)=x＋2∫0x(1－et－x)f(t)dt。验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f’(0)=1；

admin2017-11-30 36

问题设f(x)连续，且满足f(x)=x＋2∫₀^x(1－e^t－x)f(t)dt。
验证f(x)满足f^’’(x)+f^’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f^’(0)=1；

选项

答案将x=0代入原方程可得f(0)=0，将f(x)变形整理为 f(x)=x+2∫₀^x(1一e^t－x)f(t)dt=x+2∫₀^xf(t)dt一2e^－x∫₀^xe^tf(t)dt，则f^’(x)=1+2e^－x∫₀^xe^tf(t)dt，将x=0代入上式可得f^’(0)=1。再在等式两边同时乘以e^x可得 e^xf^’(x)=e^x+2∫₀^xe^tf(t)dt，求导可得e^xf^’(x)+e^xf^’’(x)=e^x+2e^xf(x)，即f(x)满足f^’’(x)+f^’(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f^’(0)=1。

解析

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