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设f(x)连续,且满足f(x)=x+2∫0x(1-et-x)f(t)dt。 验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1,且f(0)=0,f’(0)=1;
设f(x)连续,且满足f(x)=x+2∫0x(1-et-x)f(t)dt。 验证f(x)满足f’’(x)+f’(x)一2f(x)=1,且f(0)=0,f’(0)=1;
admin
2017-11-30
31
问题
设f(x)连续,且满足f(x)=x+2∫
0
x
(1-e
t-x
)f(t)dt。
验证f(x)满足f
’’
(x)+f
’
(x)一2f(x)=1,且f(0)=0,f
’
(0)=1;
选项
答案
将x=0代入原方程可得f(0)=0,将f(x)变形整理为 f(x)=x+2∫
0
x
(1一e
t-x
)f(t)dt=x+2∫
0
x
f(t)dt一2e
-x
∫
0
x
e
t
f(t)dt, 则f
’
(x)=1+2e
-x
∫
0
x
e
t
f(t)dt, 将x=0代入上式可得f
’
(0)=1。 再在等式两边同时乘以e
x
可得 e
x
f
’
(x)=e
x
+2∫
0
x
e
t
f(t)dt, 求导可得e
x
f
’
(x)+e
x
f
’’
(x)=e
x
+2e
x
f(x), 即f(x)满足f
’’
(x)+f
’
(x)一2f(x)=1,且f(0)=0,f
’
(0)=1。
解析
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0
考研数学二
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