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  3. 设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．

设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．

admin2014-12-09  65
问题 设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．
选项
答案因为[PT(A+B)P]T＝PT(AT＋BT)(PT)T＝PT(A十B)P．所以PT(A＋b)P为实对称矩阵. 设PT(A＋B)P正定，则PT(A＋B)P为m阶可逆矩阵，即，r[PT(A＋B)P]＝m，由矩阵秩的性质得r[pT(A＋B)P]≤r(P)．所以r(P)≥m，显然r(P)≤m，所以r(P)＝m． 设r(P)＝m．对任意的X≠0，XT[PT)(A＋B)PX＝(PX)T(A＋B)(PX)．令PX＝y．显然Y≠0，因为若Y＝0，由r(P))＝m，得χ＝0，矛盾，所以Y≠0．于是XT[PT(A＋B)P]X＝YTAY＋YTBY． 因为A，B都是正定矩阵，所以YTAY＞0且YTBY＞0，于是XT[PT(A＋B)P]X＞0，即PT(A＋B)P为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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