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设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．
设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．
admin
2014-12-09
49
问题
设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：P
T
(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．
选项
答案
因为[P
T
(A+B)P]
T
＝P
T
(A
T
＋B
T
)(P
T
)
T
＝P
T
(A十B)P．所以P
T
(A＋b)P为实对称矩阵. 设P
T
(A＋B)P正定，则P
T
(A＋B)P为m阶可逆矩阵，即，r[P
T
(A＋B)P]＝m，由矩阵秩的性质得r[p
T
(A＋B)P]≤r(P)．所以r(P)≥m，显然r(P)≤m，所以r(P)＝m． 设r(P)＝m．对任意的X≠0，X
T
[P
T
)(A＋B)PX＝(PX)
T
(A＋B)(PX)．令PX＝y．显然Y≠0，因为若Y＝0，由r(P))＝m，得χ＝0，矛盾，所以Y≠0．于是X
T
[P
T
(A＋B)P]X＝Y
T
AY＋Y
T
BY． 因为A，B都是正定矩阵，所以Y
T
AY＞0且Y
T
BY＞0，于是X
T
[P
T
(A＋B)P]X＞0，即P
T
(A＋B)P为正定矩阵．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/i8bD777K
0
考研数学二
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