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设η*为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系,证明:η*,η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量.
设η*为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系,证明:η*,η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量.
admin
2018-10-22
22
问题
设η
*
为非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是其导出组Ax=0的一个基础解系,证明:η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
2
,…,η
*
+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量.
选项
答案
由A(η
*
+ξ
1
)=Aη
*
+Aξ
1
=b+0=b的解. 故η
*
+ξ
1
是Ax=b的解. 设存在任意实数k
0
,k
1
,…,k
n-r
,使得k
0
η
*
+k
1
(η
*
+ξ
1
)+…+k
n-r
(η
*
+ξ
n-r
)=0. (1) 整理得 (k
0
+k
1
+…+k
n-r
)η
*
+k
1
ξ
1
1+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
?ξ
n-r
1 (2) (2)式两端左乘A,由Aξ
i
=0,i=1,2,…,n-r,得(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)Aη
*
=(k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0. 因b≠0,则k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0. (3) 把(3)式代入(2)式得k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
…+k
n-r
ξ
n-r
=0. (4) 因ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是Ax=0的基础解系,则ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,故k
1
=k
2
=…k
n-r
=0. (5) 把(5)式代入(3)式得k
0
=0. 从而(1)式成立时,k
0
,k
1
,…,k
n-r
,必须全为零. 故η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
2
,…,η
*
+ξ
n-r
线性无关. 因此η
*
,η
*
+ξ
1
,η
*
+ξ
2
,…,η
*
+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/yayR777K
本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
公共课
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