2. 自考
  3. 设η*为非齐次线性方程组Ax＝b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是其导出组Ax＝0的一个基础解系，证明：η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r是Ax＝b的n－r＋1个线性无关的解向量．

设η*为非齐次线性方程组Ax＝b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是其导出组Ax＝0的一个基础解系，证明：η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r是Ax＝b的n－r＋1个线性无关的解向量．

admin2018-10-22  22
问题 设η*为非齐次线性方程组Ax＝b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是其导出组Ax＝0的一个基础解系，证明：η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r是Ax＝b的n－r＋1个线性无关的解向量．
选项
答案由A(η*＋ξ1)＝Aη*＋Aξ1＝b＋0＝b的解． 故η*＋ξ1是Ax＝b的解． 设存在任意实数k0，k1，…，kn－r，使得k0η*＋k1(η*＋ξ1)＋…＋kn－r(η*＋ξn－r)＝0． (1) 整理得 (k0＋k1＋…＋kn－r)η*＋k1ξ11＋k2ξ2＋…＋kn－r?ξn－r1 (2) (2)式两端左乘A，由Aξi＝0，i＝1，2，…，n－r，得(k0＋k1＋…＋kn－r)Aη*＝(k0＋k1＋…＋kn－r)b＝0． 因b≠0，则k0＋k1＋…＋kn－r＝0． (3) 把(3)式代入(2)式得k1ξ1＋k2ξ2…＋kn－rξn－r＝0． (4) 因ξ1，ξ2，…，ξn－r是Ax＝0的基础解系，则ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，故k1＝k2＝…kn－r＝0． (5) 把(5)式代入(3)式得k0＝0． 从而(1)式成立时，k0，k1，…，kn－r，必须全为零． 故η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r线性无关． 因此η*，η*＋ξ1，η*＋ξ2，…，η*＋ξn－r是Ax＝b的n－r+1个线性无关的解向量．
解析
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