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  3. 设n阶实对称矩阵A为正定矩阵．B为n阶实矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．

设n阶实对称矩阵A为正定矩阵．B为n阶实矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．

admin2014-10-27  74
问题 设n阶实对称矩阵A为正定矩阵．B为n阶实矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．
选项
答案如果｜B｜≠0，则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以对一切非零向量X有Y=BX也是非零向量，而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，则｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜.｜B｜2＞0，当然有｜B｜≠0．
解析
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线性代数（经管类）

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