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矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
admin
2013-03-04
39
问题
矩阵
求可逆矩阵P，使(AP)
T
(AP)为对角矩阵．
选项
答案
由于A
T
=A，要(AP)
T
(AP)=P
T
A
2
P=A，而 A
2
=[*] 是对称矩阵，故可构造二次型x
T
A
2
x，将其化为标准形y
T
Ay．即有A
2
与A合同．亦即p
T
A
2
P=A． 由于 x
T
A
2
x=x
1
2
+x
2
2
+5x
3
2
+5x
4
2
+8x
3
x
4
=x
1
2
+x
2
2
+5(x
3
2
+8/5x
3
x
4
+16/25x
4
2
)+5x
4
2
-16/5x
4
2
； =x
1
2
+x
2
2
+5(x
3
+x
4
)
2
+9/5x
4
2
， 那么，令y
1
=x
1
，y
2
=x
2
,y
3
=x
3
+4/5x
4
，y
4
=x
4
，即经坐标变换 [*] 有 x
T
A
2
x=y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
+9/5y
4
2
． 所以，取P=[*]，有(AP)
T
(AP)=P
T
A
2
P=[*].
解析
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考研数学三
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