2. 考研
  3. 矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

矩阵 求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2013-03-04  27
问题 矩阵
求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．
选项
答案由于AT=A，要(AP)T(AP)=PTA2P=A，而 A2=[*] 是对称矩阵，故可构造二次型xTA2x，将其化为标准形yTAy．即有A2与A合同．亦即pTA2P=A． 由于 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4 =x12+x22+5(x32+8/5x3x4+16/25x42)+5x42-16/5x42； =x12+x22+5(x3+x4)2+9/5x42， 那么，令y1=x1，y2=x2,y3=x3+4/5x4，y4=x4，即经坐标变换 [*] 有 xTA2x=y12+y22+5y32+9/5y42． 所以，取P=[*]，有(AP)T(AP)=PTA2P=[*].
解析
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考研数学三

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