矩阵求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2013-03-04 38

问题矩阵

求可逆矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵．

选项

答案由于A^T=A，要(AP)^T(AP)=P^TA²P=A，而 A²=[*] 是对称矩阵，故可构造二次型x^TA²x，将其化为标准形y^TAy．即有A²与A合同．亦即p^TA²P=A．由于 x^TA²x=x₁²+x₂²+5x₃²+5x₄²+8x₃x₄ =x₁²+x₂²+5(x₃²+8/5x₃x₄+16/25x₄²)+5x₄²-16/5x₄²； =x₁²+x₂²+5(x₃+x₄)²+9/5x₄²，那么，令y₁=x₁，y₂=x₂,y₃=x₃+4/5x₄，y₄=x₄，即经坐标变换 [*] 有 x^TA²x=y₁²+y₂²+5y₃²+9/5y₄²．所以，取P=[*]，有(AP)^T(AP)=P^TA²P=[*].

解析

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