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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(1)求a的值;(2)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形;(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(1)求a的值;(2)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化为标准形;(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
admin
2020-06-05
30
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.(1)求a的值;(2)求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形;(3)求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解.
选项
答案
(1)二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的矩阵为 A=[*] 由于二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的秩为2,故R(A)=2,可得|A|=0,而 |A|=[*]=﹣4a 所以a=0. (2)矩阵A的特征多项式为 |A-λE|=[*] =﹣λ(λ-2)
2
因此,可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 当λ
1
=λ
2
=2时,解方程(A-2E)x=0.由 A-2E=[*] 得基础解系为p
1
=(1,1,0)
T
,p
2
=(0,0,1)
T
.注意p
1
,p
2
正交,只需将其单位化 q
1
=[*],q
2
=(0,0,1)
T
当λ
3
=0时,解方程(A-0E)x=0.由 (A-0E)=[*] 得基础解系为p
3
=(﹣1,1,0)
T
,将其单位化得q
3
=[*].于是正交变换 [*] 可把二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
. (3)方法一 由x=Qy得 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=y
T
[*]y=2y
1
2
+2y
2
2
故可由f(x
1
,x
2
,x
3
)=0得y
1
=0,y
2
=0,所以f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解为y
1
=0,y
2
=0,代入 [*] 得[*],x
3
=0.令[*]y
3
=k,得方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解为(﹣k,k,0)
T
,k为任意实数. 方法二 由f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=0得f(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0,即x
1
+x
2
=0且x
3
=0,从而方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的通解为k(1,﹣1,0)
T
,其中k为任意实数.
解析
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考研数学一
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