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已知函数f(x)=其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2. 若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
已知函数f(x)=其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2. 若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
admin
2019-06-01
30
问题
已知函数f(x)=
其中a是实数,设A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
))为该函数图象上的两点,且x
1
<x
2
.
若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
选项
答案
当x
1
<x
2
<0或x
2
>x
1
>0时,f'(x
1
)≠f'(x
2
),故x
1
<0<x
2
. 当x
1
<0时,函数f(x)的图象在点(x
1
,f(x
1
))处的切线方程为y-(x
1
2
+2x
1
+a)=(2x
1
+2)(x—x
1
),即y=(2x
1
+2)x—x
1
2
+a.当x
2
>0时,函数f(x)的图象在点(x
2
,f(x
2
))处的切线方程为y-ln x
2
=[*](x—x
2
),即y=[*]·x+ln x
2
-1.两切线重合的充要条件是[*]由①及x
1
<0<x
2
知,0<[*]<2.由①②得,a=ln x
2
+[*]. 令t=[*],则0<t<2,且a=[*]t
2
-t-ln t,设h(t)=[*]t
2
-t-lnt(0<t<2),则h'(t)=[*]<0.所以h(t)(0<t<2)为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2—1,所以a>-ln 2—1.而当t∈(0,2)且 t趋近于0时,h(t)无限增大.所以a的取值范围是(-ln 2—1,+∞).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2—1,+∞).
解析
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