设y1=x，y2=ex，y3=e－x是y’’＋Py’+qy=f(x)(其中，p，q都是常数)的三个特解，则该方程的通解为________．

admin2019-01-16 108

问题设y₁=x，y₂=e^x，y₃=e^－x是y^’’＋Py^’+qy=f(x)(其中，p，q都是常数)的三个特解，则该方程的通解为________．

选项

答案y=x+C₁(e^x一x)+C₂(e^－x一x)

解析 y₁=x，y₂=e^x，y₃=e^－x是y^’’+py^’+qy=f(x)(其中，p，q都是常数)的三个特解，且线性无关，则e^x—x，e^－x—x是y^’’+py^’+qy=0的解，且e^x一x，e^－x－x线性无关，故C₁(e^x一x)+C₂(e^－x—x)是y^’’+py^’+qy=0的通解，故y^’’+py^’＋qy=f(x)的通解为y=C₁(e^x一x)+C₂(e^－x一x)+x．其中C₁，C₂为任意常数．

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