已知α1=(1,一1,1)T,α2=(1,t,一1)T,α3=(t,1,2)T,β=(4,t2,一4)T,若β可由向量组α1,α2,α3线性表示,且表示法不唯一,求t及β的表达式。

admin2017-01-13  31

问题 已知α1=(1,一1,1)T,α2=(1,t,一1)T,α3=(t,1,2)T,β=(4,t2,一4)T,若β可由向量组α123线性表示,且表示法不唯一,求t及β的表达式。

选项

答案记A=(α123),考虑线性方程组Ax=β。对其系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换,即 [*] 由题意可知,线性方程组有无穷多解,所以r(A)=r(A)<3,从而t=4。当t=4时 [*] 线性方程组Ax=β的通解为k(一3,一1,1)T+(0,4,0)T,k∈R。所以β=一3kα1+(4一k)α2+kα3,k∈R。

解析
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