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已知线性方程组 问:(1)a,b为何值时,方程组有解? (2)有解时,求出方程组导出组的一个基础解系; (3)有解时,求出方程组导出组的全部解.
已知线性方程组 问:(1)a,b为何值时,方程组有解? (2)有解时,求出方程组导出组的一个基础解系; (3)有解时,求出方程组导出组的全部解.
admin
2016-01-25
56
问题
已知线性方程组
问:(1)a,b为何值时,方程组有解?
(2)有解时,求出方程组导出组的一个基础解系;
(3)有解时,求出方程组导出组的全部解.
选项
答案
解一 [*] (Ⅰ)当a=1,b=3时,r(A)=2=r([*]),方程组有解. (Ⅱ)当a=1,b=3时,对变换矩阵B
1
进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2阶单位矩阵)的矩阵,再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解,从而写出其全部解: [*] 则其基础解系含3个解向量: α
1
=[1,一2,1,0,0]
T
, α
2
=[1,一2,0,1,0]
T
, α
3
=[5,一6,0,0,1]
T
, 其一个特解η=[一2,3,0,0,0]
T
. (Ⅲ)所求的全部解为 X=η+k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
, 其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数. 解二 因该方程组的参数仅出现在方程右端的常数项,可先用观察法求出方程组有解的参数取值.观察左边的各个方程,有下述关系: [*] 因此要使方程组有解,其右端也应有相同关系: 2a+0=2, 3a-0=b 解之得a=1,b=3.下同解一. 解三 用高斯消元法求解.由式⑤中矩阵B
2
得到同解的齐次方程组为 [*] 选x
3
,x
4
,x
5
为自由变量,分别令 x
3
=1, x
4
=0, x
5
=0; x
3
=0, x
4
=1, x
5
=0; x
3
=x
4
=0,x
5
=1. 代入上式得到基础解系为 α
1
=[1,一2,1,0,0]
T
, α
2
=[1,一2,0,1,0]
T
, α
3
=[5,一6,0,0,1]
T
, 再令x
3
=x
4
=x
5
=0,得其特解η=[一2,3,0,0,0]
T
.故其全部解为 X=η+k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
, 其中k
1
,k
2
,k
3
为任意实数.
解析
利用有解的充要条件
r(A)=r
求a,b.A与
分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵,可利用基础解系和特解的简便求法求解
设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解,其中A为m×n矩阵.设
秩(A)=秩(
)=r,
对增广矩阵
用初等行变换,将其化为
其中A
1
是将A化为含r阶(最高阶)的单位矩阵的矩阵.如果这r阶单位矩阵在A
1
的第j
1
,j
2
,…,j
r
列,则基础解系的n-r个解向量α
1
,α
2
,α
n-r
的第j
1
,j
2
,…,j
r
个分量依次是A
1
中除r阶单位矩阵所在的r列以外的其余n-r列的前r个分量反号,而α
1
,α
2
,α
n-r
的其余n-r个分量依次组成n-r阶单位矩阵.
而特解η的第j
1
,j
2
,…,j
r
个分量依次为
中最后一列的前r个分量(但不反号),而η的其余n-r个分量全部取成零.
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考研数学三
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