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  3. 已知线性方程组 问：(1)a，b为何值时，方程组有解? (2)有解时，求出方程组导出组的一个基础解系； (3)有解时，求出方程组导出组的全部解．

已知线性方程组 问：(1)a，b为何值时，方程组有解? (2)有解时，求出方程组导出组的一个基础解系； (3)有解时，求出方程组导出组的全部解．

admin2016-01-25  56
问题 已知线性方程组

问：(1)a，b为何值时，方程组有解?
(2)有解时，求出方程组导出组的一个基础解系；
(3)有解时，求出方程组导出组的全部解．
选项
答案解一 [*] (Ⅰ)当a＝1，b＝3时，r(A)＝2＝r([*])，方程组有解． (Ⅱ)当a＝1，b＝3时，对变换矩阵B1进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解： [*] 则其基础解系含3个解向量： α1＝[1，一2，1，0，0]T， α2＝[1，一2，0，1，0]T， α3＝[5，一6，0，0，1]T， 其一个特解η＝[一2，3，0，0，0]T． (Ⅲ)所求的全部解为 X＝η＋k1α1＋k2α2＋k3α3， 其中k1，k2，k3为任意常数． 解二 因该方程组的参数仅出现在方程右端的常数项，可先用观察法求出方程组有解的参数取值．观察左边的各个方程，有下述关系： [*] 因此要使方程组有解，其右端也应有相同关系： 2a＋0＝2， 3a－0＝b 解之得a＝1，b＝3．下同解一． 解三 用高斯消元法求解．由式⑤中矩阵B2得到同解的齐次方程组为 [*] 选x3，x4，x5为自由变量，分别令 x3＝1， x4＝0， x5＝0； x3＝0， x4＝1， x5＝0； x3＝x4＝0，x5＝1． 代入上式得到基础解系为 α1＝[1，一2，1，0，0]T， α2＝[1，一2，0，1，0]T， α3＝[5，一6，0，0，1]T， 再令x3＝x4＝x5＝0，得其特解η＝[一2，3，0，0，0]T．故其全部解为 X＝η＋k1α1＋k2α2＋k3α3， 其中k1，k2，k3为任意实数．
解析 利用有解的充要条件
   r(A)＝r
求a，b．A与分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵，可利用基础解系和特解的简便求法求解
设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，其中A为m×n矩阵．设
   秩(A)＝秩()＝r，
对增广矩阵用初等行变换，将其化为
   
其中A1是将A化为含r阶(最高阶)的单位矩阵的矩阵．如果这r阶单位矩阵在A1的第j1，j2，…，jr列，则基础解系的n－r个解向量α1，α2，αn－r的第j1，j2，…，jr个分量依次是A1中除r阶单位矩阵所在的r列以外的其余n－r列的前r个分量反号，而α1，α2，αn－r的其余n－r个分量依次组成n－r阶单位矩阵．
而特解η的第j1，j2，…，jr个分量依次为中最后一列的前r个分量(但不反号)，而η的其余n－r个分量全部取成零．
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考研数学三

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