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设F(x)=F(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x)且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex. 求F(x)的表达式.
设F(x)=F(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x)且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex. 求F(x)的表达式.
admin
2013-01-23
103
问题
设F(x)=F(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件:
f’(x)=g(x),g’(x)=f(x)且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e
x
.
求F(x)的表达式.
选项
答案
e
2x
同乘方程两边,可得[e
2x
F(x)]’=4e
4x
,积分即得e
2x
F(x)=e
4x
+C, 于是方程的通解是F(x)=e
2x
+Ce
-2x
. 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,可确定常数C=-1.故所求函数的表达式为 F(x)=e
2x
-e
2x
.
解析
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考研数学三
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