2. 考研
  3. 设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex． 求F(x)的表达式．

设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex． 求F(x)的表达式．

admin2013-01-23  75
问题 设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：
f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．
求F(x)的表达式．
选项
答案e2x同乘方程两边，可得[e2xF(x)]’=4e4x，积分即得e2xF(x)=e4x+C， 于是方程的通解是F(x)=e2x+Ce-2x． 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，可确定常数C=-1．故所求函数的表达式为 F(x)=e2x-e 2x.
解析
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考研数学三

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