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已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点,G为PA上的点,且PG=3GA。 (1)证明:PF⊥FD; (2)证明:EG∥平面PDF; (3)若PA=1,求二面角A—PD—F的
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点,G为PA上的点,且PG=3GA。 (1)证明:PF⊥FD; (2)证明:EG∥平面PDF; (3)若PA=1,求二面角A—PD—F的
admin
2017-12-17
16
问题
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点,G为PA上的点,且PG=3GA。
(1)证明:PF⊥FD;
(2)证明:EG∥平面PDF;
(3)若PA=1,求二面角A—PD—F的余弦值。
选项
答案
几何法: (1)连接AF,在底面ABCD中,AB=BF=CF=CD=1,则∠AFB=∠DFC=45°,∠AFD=90°,所以FD⊥AF。又PA⊥平面ABCD,FD[*]平面ABCD,所以FD⊥PA所以FD⊥面PAF,进而证得FD⊥PF。 (2)如图1, [*] 取FD的中点H,连接EH,过G作GK∥AD交PD于K,连接HK。则EH是梯形ABFD的中位线,EH∥AD,且 [*] 所以EG∥平面PDF。 (3)如图2, [*] 取AD的中点M,连接FM,则FM⊥面PAD,且AFPD在面PAD上的投影为AMPD设二面角A一PD—F为θ,由面积射影定理得,[*]。下面求两个三角形的面积,已知AB=PA=1,AD=2,所以PF
2
=PA
2
+AF
2
=PA
2
+AB
2
+BF
2
=3 [*]
解析
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