2. 公务员
  3. 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点，G为PA上的点，且PG=3GA。 (1)证明：PF⊥FD； (2)证明：EG∥平面PDF； (3)若PA=1，求二面角A—PD—F的

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点，G为PA上的点，且PG=3GA。 (1)证明：PF⊥FD； (2)证明：EG∥平面PDF； (3)若PA=1，求二面角A—PD—F的

admin2017-12-17  16
问题 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点，G为PA上的点，且PG=3GA。

(1)证明：PF⊥FD；
(2)证明：EG∥平面PDF；
(3)若PA=1，求二面角A—PD—F的余弦值。
选项
答案几何法： (1)连接AF，在底面ABCD中，AB=BF=CF=CD=1，则∠AFB=∠DFC=45°，∠AFD=90°，所以FD⊥AF。又PA⊥平面ABCD，FD[*]平面ABCD，所以FD⊥PA所以FD⊥面PAF，进而证得FD⊥PF。 (2)如图1， [*] 取FD的中点H，连接EH，过G作GK∥AD交PD于K，连接HK。则EH是梯形ABFD的中位线，EH∥AD，且 [*] 所以EG∥平面PDF。 (3)如图2， [*] 取AD的中点M，连接FM，则FM⊥面PAD，且AFPD在面PAD上的投影为AMPD设二面角A一PD—F为θ，由面积射影定理得，[*]。下面求两个三角形的面积，已知AB=PA=1，AD=2，所以PF2=PA2+AF2=PA2+AB2+BF2=3 [*]
解析
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