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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x1，x2，x3)化为标准型，并写出所用正交变换。

设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x1，x2，x3)化为标准型，并写出所用正交变换。

admin2019-12-06  77
问题 设二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3，若a是使A正定的正整数，用正交变换把二次型f(x1，x2，x3)化为标准型，并写出所用正交变换。
选项
答案求二次型矩阵的特征值，有 [*] ＝(λ＋a－2)2(λ－2a－2)＝0， 得到A的特征值是λ1＝λ2＝2－a，λ3＝2a＋2，由于A正定，且a为正整数，故a＝1。因此[*]， 此时矩阵的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝4。 对于λ＝1，由E－A＝[*]， 得到属于λ＝1的特征向量为α1＝(﹣1，1，0)T，α2＝(﹣1，0，1)T。 对于λ＝4，由4E－A＝[*]， 得到属于λ＝4的特征向量为α3＝(1，1，1)T。 对α1，α2正交规范化得β1＝α1＝[*]， β2＝[*]， 故可得到 [*]， 令Q＝(γ1，γ2，γ3)＝[*]， 则在正交变换x＝Qy，下有 xTAx＝yTAy＝y12＋y22＋4y32。
解析
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考研数学二

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