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设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3,若a是使A正定的正整数,用正交变换把二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,并写出所用正交变换。
设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3,若a是使A正定的正整数,用正交变换把二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,并写出所用正交变换。
admin
2019-12-06
81
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+2x
2
2
+2x
3
2
+2ax
1
x
2
+2ax
2
x
3
+2ax
1
x
3
,若a是使A正定的正整数,用正交变换把二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准型,并写出所用正交变换。
选项
答案
求二次型矩阵的特征值,有 [*] =(λ+a-2)
2
(λ-2a-2)=0, 得到A的特征值是λ
1
=λ
2
=2-a,λ
3
=2a+2,由于A正定,且a为正整数,故a=1。因此[*], 此时矩阵的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=4。 对于λ=1,由E-A=[*], 得到属于λ=1的特征向量为α
1
=(﹣1,1,0)
T
,α
2
=(﹣1,0,1)
T
。 对于λ=4,由4E-A=[*], 得到属于λ=4的特征向量为α
3
=(1,1,1)
T
。 对α
1
,α
2
正交规范化得β
1
=α
1
=[*], β
2
=[*], 故可得到 [*], 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*], 则在正交变换x=Qy,下有 x
T
Ax=y
T
Ay=y
1
2
+y
2
2
+4y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zTA4777K
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考研数学二
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