设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx。

admin2018-01-30  34

问题 设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明
abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+abf’’(x)(x-a)(x-b)dx。

选项

答案连续利用分部积分法有 ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf(x)(x一b)d(x一a) =f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f(x)(x一b)] =f(0)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx =f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx, 移项并整理得∫abf(x)dx=[*](b一a)[f(a)+f(b)]+[*]∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx。

解析
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