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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx。
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx。
admin
2018-01-30
88
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明
∫
a
b
f(x)dx=
(b-a)[f(a)+f(b)]+
∫
a
b
f
’’
(x)(x-a)(x-b)dx。
选项
答案
连续利用分部积分法有 ∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫
a
b
f
’
(x)(x一b)d(x一a) =f(a)(b一a)+∫
a
b
(x一a)d[f
’
(x)(x一b)] =f(0)(b一a)+∫
a
b
(x一a)df(x)+∫
a
b
f
’’
(x)(x一a)(x一b)dx =f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f
’’
(x)(x一a)(x一b)dx, 移项并整理得∫
a
b
f(x)dx=[*](b一a)[f(a)+f(b)]+[*]∫
a
b
f
’’
(x)(x一a)(x一b)dx。
解析
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考研数学二
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