已知向量组(I):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α4,α5.如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3,r(Ⅲ)=4.证明向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.

admin2013-02-27  31

问题 已知向量组(I):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α4,α5.如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3,r(Ⅲ)=4.证明向量组α1,α2,α3,α54的秩为4.

选项

答案因为r(I)=r(II)=3,所以α1,α2,α3线性无关,而α1,α2,α3,α4线性相关,因此α4可由α1,α2,α3线性表出,设为α4=lα1+lα2+lα3. 若k1α1+k2α2+k3α3+k454)=0, 即(k1-l1k41+(k2-l2k42+(kα3-l3k44)α3+k4α5=0, 由于r(Ⅲ)=4,即α1,α2,α3,α5线性无关.故必有 解出k4=0,k3=0,k2=0,k1=0. 于是α1,α2,α3,α54的秩为4.

解析
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