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设f(x)是(一∞,+∞)上连续的偶函数,且|f(x)|≤m,则F(x)=∫0xte-t2f(t)dt是(—∞,+∞)上的( )
设f(x)是(一∞,+∞)上连续的偶函数,且|f(x)|≤m,则F(x)=∫0xte-t2f(t)dt是(—∞,+∞)上的( )
admin
2020-06-11
66
问题
设f(x)是(一∞,+∞)上连续的偶函数,且|f(x)|≤m,则F(x)=∫
0
x
te
-t
2
f(t)dt是(—∞,+∞)上的( )
选项
A、有界偶函数。
B、无界偶函数。
C、有界奇函数。
D、无界奇函数。
答案
A
解析
首先讨论F(x)的奇偶性:
对任意的x∈(一∞,+∞),有
F(一x)=∫
0
-x
te
-t
2
f(t)dt,
令t=一μ,则
F(一x)=∫
0
x
μe
-μ
2
f(-μ)dμ=∫
0
x
μe
-μ
2
f(μ)dμ=F(x),
故F(x)是(一∞,+∞)上的偶函数。
其次讨论F(x)的有界性:
因F(x)是(一∞,+∞)的偶函数,可只讨论x≥0时,F(x)的有界性。由于
|F(x)|=|∫
0
x
te
-t
2
f(t)dt|≤∫
0
x
te
-t
2
|f(t)|dt≤m∫
0
+∞
te
-t
2
dt=
∫
0
+∞
e
-t
2
d(t
2
)=
,
所以F(x)是(一∞,+∞)上的有界函数。故选(A)。
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0
考研数学二
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