设函数f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零.记F(x)=(x>a).证明:F(x)在(a,+∞)内单调增加.

admin2017-10-23  27

问题 设函数f(x)在[a,+∞)上连续,f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零.记F(x)=(x>a).证明:F(x)在(a,+∞)内单调增加.

选项

答案证明F’(x)>0(x>0).由题设条件,有 [*] 由拉格朗日中值定理知,存在ξ(0<ξ<x)使得 [*] 由f"(x)>0,可知f’(x)在(a,+∞)内单调增加.因此,对于任何满足a<ξ<x的x和ξ,有f’(x)>f’(ξ).又x一a>0,从而由②可知F’(x)>0,于是F(x)是单调增加的.

解析 要证F(x)在(a,+∞)内单调增加,只需证F’(x)>0,为此需先求出F’(x).条件“f"(x)在(a,+∞)内存在且大于零”隐含着f’(x)在(a,+∞)上单调上升,因此要充分利用这一信息来证明F’(x)>0.
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