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设抛物线y=-x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b),又f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,若曲线y=f(x)与y=-x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使得f"(ξ)+2=0.
设抛物线y=-x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b),又f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,若曲线y=f(x)与y=-x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使得f"(ξ)+2=0.
admin
2022-09-05
66
问题
设抛物线y=-x
2
+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b),又f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,若曲线y=f(x)与y=-x
2
+Bx+C在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使得f"(ξ)+2=0.
选项
答案
如图所示, [*] 设y=f(x)与y=-x
2
+Bx+C在(a,b)内的交点为(c,f(c))(a<c<b).作辅助函数ψ(x)=f(x)-(-x
2
+ Bx+C), 由题设条件知ψ(x)在[a,b]上也有二阶导数,且ψ(a)= ψ(c)= ψ(b)=0. 由罗尔定理可知,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b)使得 ψ’(ξ
1
)=f’(ξ
1
)+2ξ
1
-B=0 ψ’(ξ
2
)=f’(ξ
2
)+2ξ
2
-B=0 将函数ψ’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)使得 ψ"(ξ)=f"(ξ)+2=0,a<ξ
1
<ξ<ξ
2
<b 即f"(ξ)+2=0.
解析
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考研数学三
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