设抛物线y=-x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b),又f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,若曲线y=f(x)与y=-x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使得f"(ξ)+2=0.

admin2022-09-05  45

问题 设抛物线y=-x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b(a<b),又f(x)在[a,b]上有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,若曲线y=f(x)与y=-x2+Bx+C在(a,b)内有一个交点,求证:在(a,b)内存在一点ξ,使得f"(ξ)+2=0.

选项

答案如图所示, [*] 设y=f(x)与y=-x2+Bx+C在(a,b)内的交点为(c,f(c))(a<c<b).作辅助函数ψ(x)=f(x)-(-x2+ Bx+C), 由题设条件知ψ(x)在[a,b]上也有二阶导数,且ψ(a)= ψ(c)= ψ(b)=0. 由罗尔定理可知,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b)使得 ψ’(ξ1)=f’(ξ1)+2ξ1-B=0 ψ’(ξ2)=f’(ξ2)+2ξ2-B=0 将函数ψ’(x)在[ξ12]上应用罗尔定理,知存在ξ∈(ξ12)使得 ψ"(ξ)=f"(ξ)+2=0,a<ξ1<ξ<ξ2<b 即f"(ξ)+2=0.

解析
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