设=(a1，a2，…，an)T，a1≠0，A=aaT，求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

admin2016-03-05 63

问题设=(a₁，a₂，…，a_n)^T，a₁≠0，A=aa^T，
求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

选项

答案设λ₁=a^Ta，λ₂=…=λ_n=0．因为Aa=aa^Ta=(a^Ta)a=λ₁a，所以p₁=a是对应于λ₁=a^Ta的特征向量．对于λ₂=…=λ_n=0，解方程Ax=0，即aa^Tx=0．已知a≠0，因此a^Tx=0，即a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0，所以其余(n一1)个线性无关特征向量为 p₂=(一a₂，a₁，0，…，0)^T， p₃=(一a₃，0，a₁，…，0)^T， p_n=(一a_n，0，0，…，a₁)^T．

解析

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