2. 考研
  3. )设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+axx22+(a一1)xx32+21x2—22x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (II)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+axx22+(a一1)xx32+21x2—22x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (II)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2016-04-11  55
问题 )设二次型
    f(x1，x2，x3)=ax12+axx22+(a一1)xx32+21x2—22x3．
    (I)求二次型f的矩阵的所有特征值；
    (II)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．
选项
答案(I)[*] =(λ一a)[(λ一a)2+(λ一a)一2]=(λ一a)(λ—a+2)(λ一a一1)=0， 得A的特征值为λ1=a，λ2=a一2，λ3=a+1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0． 若λ1=a=0，则λ2=一2＜0，λ3=1，不合题意；若λ2=a一2=0，则a=2，λ1=2，λ3=3，符合题意；若λ3=a+1=0，则a=一1，λ1=一1＜0，λ2=3＜0，不合题意．故a=2．
解析
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考研数学一

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