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设f(χ)在[0,1]上连续且单调递减,则函数F(t)=t∫01[f(tχ)-f(χ)]dχ在(0,1)内( ).
设f(χ)在[0,1]上连续且单调递减,则函数F(t)=t∫01[f(tχ)-f(χ)]dχ在(0,1)内( ).
admin
2019-06-25
68
问题
设f(χ)在[0,1]上连续且单调递减,则函数F(t)=t∫
0
1
[f(tχ)-f(χ)]dχ在(0,1)内( ).
选项
A、单调增加
B、单调减少
C、有极小值
D、有极大值
答案
D
解析
因为F(t)=t∫
0
1
[f(tχ)-f(χ)]dχ=t∫
0
1
f(tχ)dχ-t∫
0
1
f(χ)dχ,其中
于是F(t)=∫
0
t
f(u)du-t∫
0
1
f(χ)dχ,F′(t)=f(t)-∫
0
1
(χ)dχ.
令F′(t)=0,即f(t)=∫
0
1
f(χ)dχ,由积分中值定理知
∫
0
1
f(χ)dχ=f(ξ).1=f(ξ),ξ∈(0,1),
所以,t=ξ是F(t)的驻点.
由于f(χ)在[0,1]上单减,当0<t<ξ时,F′(t)=f(t)-f(ξ)>0;
当ξ<t<1时,F′(t)=f(t)-f(ξ)<0,则F(t)在t=ξ点取得极大值.
故应选D.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1FJ4777K
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考研数学三
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