设f(χ)在[0，1]上连续且单调递减，则函数F(t)＝t∫01[f(tχ)－f(χ)]dχ在(0，1)内( )．

admin2019-06-25 74

问题设f(χ)在[0，1]上连续且单调递减，则函数F(t)＝t∫₀¹[f(tχ)－f(χ)]dχ在(0，1)内( )．

选项 A、单调增加
B、单调减少
C、有极小值
D、有极大值

答案D

解析因为F(t)＝t∫₀¹[f(tχ)－f(χ)]dχ＝t∫₀¹f(tχ)dχ－t∫₀¹f(χ)dχ，其中

于是F(t)＝∫₀^tf(u)du－t∫₀¹f(χ)dχ，F′(t)＝f(t)－∫₀¹(χ)dχ．
令F′(t)＝0，即f(t)＝∫₀¹f(χ)dχ，由积分中值定理知
∫₀¹f(χ)dχ＝f(ξ).1＝f(ξ)，ξ∈(0，1)，
所以，t＝ξ是F(t)的驻点．
由于f(χ)在[0，1]上单减，当0＜t＜ξ时，F′(t)＝f(t)－f(ξ)＞0；
当ξ＜t＜1时，F′(t)＝f(t)－f(ξ)＜0，则F(t)在t＝ξ点取得极大值．
故应选D．

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