已知矩阵A与B相似,其中A=.求a,b的值及矩阵P,使P-1AP=B.

admin2016-10-20  67

问题 已知矩阵A与B相似,其中A=.求a,b的值及矩阵P,使P-1AP=B.

选项

答案由A~B,知[*]a=7,b=-2. 从矩阵A的特征多项式|λE-A|=[*]=λ2-4λ-5,得到A的特征值是λ1=5,λ2=-1.它亦是B的特征值. 解齐次线性方程组(5E-A)x=0,(-E-A)x=0可得到矩阵A的属于λ1=5,λ2=-1的特征向量α1=(1,1)T与α2=(-2,1)T. 解齐次线性方程组(5E-B)x=0,(-E-B)x=0得到B的特征向量分别是β1=(-7,1)T,β2=(-1,1)T. 那么,令P1=[*] 即P2P1-1AP1P2-1=B.可见,取P=P1P2-1=[*],就有P-1AP=B.

解析 由|A|=λ1λ2=-5<0,知A~A,因而可求可逆矩阵P1和P2,使P1-1AP1=P2-1BP2=A,那么P=P1P2-1
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