设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是________．

admin2019-05-12 47

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²一x₂²+2ax₁x₂+4x₂x₃的负惯性指数为1，则a的取值范围是________．

选项

答案[一2，2]．

解析对f配方，可得
f=(x₁+ax₃)²一(x₂—2x₃)²+(4一a²)x₃²
于是f可经可逆线性变换

化成标准形
f=z₁²一z₂²+(4一a²)z₃²
若4一a²＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；
若4一a²≥0，则f的负惯性指数为1．
因此，当且仅当4一a²≥0，即｜a｜≤2时，f的负惯性指数为1．

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