2. 考研
  3. 设向量组α1=(a，2，10)T，α2=(－2，1，5)T，α3=(－1，1，4) )T，β=(1，b，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时 (1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一? (2)β不能由α1，α2，α3线性表出? (3)β可由α1

设向量组α1=(a，2，10)T，α2=(－2，1，5)T，α3=(－1，1，4) )T，β=(1，b，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时 (1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一? (2)β不能由α1，α2，α3线性表出? (3)β可由α1

admin2018-07-26  77
问题 设向量组α1=(a，2，10)T，α2=(－2，1，5)T，α3=(－1，1，4) )T，β=(1，b，c)T．试问：当a，b，c满足什么条件时
(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一?
(2)β不能由α1，α2，α3线性表出?
(3)β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式．
选项
答案1 设有一组数k1，k2，k3，使得 k1α1+k2α2+k3α3=β 该方程组的系数行列式 [*] (1)当a≠－4时，|A|≠0，方程组有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表出． (2)当a=－4时，对增广矩阵作行的初等变换，有 [*] 若3b－c≠1，则秩(A)≠秩([*])，方程组无解，β不能由α1，α2，α3线性表出． (3)当a=－4，且3b－c=1时，秩(A)=秩([*])=2＜3，方程组有无穷多解，β可由α1，α2，α3线性表出， 但表示不唯一．此时，解得 k1=t，k2=－2t－b－1，k3=2b+1(t为任意常数) 因此有 β=tα1－(2t+b+1)α2+(2b+1)α3 2 设有一组数x1，x2，x3，使得 x1α1+x2α2+x3α3=β 对该方程组的增广矩阵作初等行变换，有 [*] (1)当－2－[*]≠0，即a≠－4时，秩(A)：秩([*])=3，方程组有唯一解，β可由α1，α2，α3线性表出，且表示唯一． (2)当－2－[*]=0，即a=－4时，对[*]作初等行变换，有 [*] 当3b－c≠1时，秩(A)≠秩([*])，方程组无解，β不能由α1，α2，α3线性表出． (3)同解1．
解析
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考研数学三

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