2. 考研
  3. 设y=y(z)是微分方程y"+4y’+4y=e-2x(x≥0)满足y(0)=y’(0)=0的解． 求y=y(x)及曲线y=y(x)(x＞0)到x轴的最大距离；

设y=y(z)是微分方程y"+4y’+4y=e-2x(x≥0)满足y(0)=y’(0)=0的解． 求y=y(x)及曲线y=y(x)(x＞0)到x轴的最大距离；

admin2022-05-26  10
问题 设y=y(z)是微分方程y"+4y’+4y=e-2x(x≥0)满足y(0)=y’(0)=0的解．
求y=y(x)及曲线y=y(x)(x＞0)到x轴的最大距离；
选项
答案特征方程为r2+4r+4=0，其特征根为r1=r2=-2． 　　 由右端项e-2x，且λ=-2是二重特征根，可令特解为y*=Ax2e-2x．代入原微分方程，得A=1/2，故原微分方程的通解为y=(c1+C2x+x2/2)c-2x． 　　由y(0)=0，y’(0)=0，得C1=0，C2=0，故[*]. 　　令y’(x)=e-2x(1-x)=0(a＞0)，得x=1．当0＜x＜1时．y’(x)＞0；当x＞1时，y’(x)＜0．由此可知[*]为最大距离．
解析
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考研数学一

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