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设y=y(z)是微分方程y"+4y’+4y=e-2x(x≥0)满足y(0)=y’(0)=0的解. 求y=y(x)及曲线y=y(x)(x>0)到x轴的最大距离;
设y=y(z)是微分方程y"+4y’+4y=e-2x(x≥0)满足y(0)=y’(0)=0的解. 求y=y(x)及曲线y=y(x)(x>0)到x轴的最大距离;
admin
2022-05-26
11
问题
设y=y(z)是微分方程y"+4y’+4y=e
-2x
(x≥0)满足y(0)=y’(0)=0的解.
求y=y(x)及曲线y=y(x)(x>0)到x轴的最大距离;
选项
答案
特征方程为r
2
+4r+4=0,其特征根为r
1
=r
2
=-2. 由右端项e
-2x
,且λ=-2是二重特征根,可令特解为y
*
=Ax
2
e
-2x
.代入原微分方程,得A=1/2,故原微分方程的通解为y=(c
1
+C
2
x+x
2
/2)c
-2x
. 由y(0)=0,y’(0)=0,得C
1
=0,C
2
=0,故[*]. 令y’(x)=e
-2x
(1-x)=0(a>0),得x=1.当0<x<1时.y’(x)>0;当x>1时,y’(x)<0.由此可知[*]为最大距离.
解析
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考研数学一
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