设二次型f(x1，x2，x3)=(a-1)x12+(a-1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2． (1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．

admin2019-08-28 41

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=(a-1)x₁²+(a-1)x₂²+2x₃²+2x₁x₂(a＞0)的秩为2．
(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．

选项

答案(1)A=[*]，因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2． (2)A=[*]，由｜λE-A｜=0得λ₁=λ₂=2，λ₃=0．当λ=2时，由(2E-A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α₁=[*]，α₂=[*] 当λ=0时，由(0E-A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为α₃=[*] 因为α₁，α₂两两正交，单位化得 [*] 令[*]，Q^TAQ=[*]，则f=X^TAX[*]Y^T(Q^TAQ)Y=2y₁²+2y₂²．

解析

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