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[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．
[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．
admin
2019-04-15
53
问题
[2011年] 设F
1
(x)与F
2
(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f
1
(x)与f
2
(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．
选项
A、f
1
(x)f
2
(x)
B、2f
2
(x)F
1
(x)
C、f
1
(x)F
2
(x)
D、f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)
答案
D
解析
解一 因f
1
(x)，f
2
(x)，F
1
(x)，F
2
(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f
1
(x)≥0，f
2
(x)≥0，0≤F
1
(x)≤1，0≤F
2
(x)≤1，所以f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)≥0．而
故f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)为概率密度．仅(D)入选．
解二 由题设有
则
f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)=F
1
’(x)F
2
(x)+F
1
(x)F
2
’(x)=(F
1
(x)F
2
(x))’．
因F
1
(x)F
2
(x)为随机变量max{X
1
，X
2
)的分布函数(见命题3．2．1．2)，故其导数f
1
(x)F
2
(x)+f
2
(x)F
1
(x)必为随机变量max{X
1
，X
2
}的概率密度．仅(D)入选．
注：命题3．2．1．2 若F
1
(x)，F
2
(x)，…，F
n
(x)分别是随机变量X
1
，X
2
，…，X
n
的分布函
数，则
也是分布函数，且是随机变量max{X
1
，X
2
，…，X
2
)的分布函数．
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考研数学三
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