矩阵相似的充分必要条件为( )

admin2018-07-26 37

问题矩阵

相似的充分必要条件为( )

选项 A、a=0，b=2．
B、a=0，b为任意常数．
C、a=2，b=0．
D、a=2，b为任意常数．

答案B

解析 B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，b，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有
0=|2I－A|

=－4a²．
由此得a=0．当a=0时，矩阵A的特征多项式为

由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形：
情形1：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a=0，b为任意常数．所以只有选项B正确．
情形2：若b是任意复数而不是实数，则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，因此A必相似于对角矩阵B．只有选项B正确．

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考研数学三

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