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设A为n阶正定矩阵.证明:存在唯一正定矩阵H,使得A=H2.
设A为n阶正定矩阵.证明:存在唯一正定矩阵H,使得A=H2.
admin
2016-09-19
90
问题
设A为n阶正定矩阵.证明:存在唯一正定矩阵H,使得A=H
2
.
选项
答案
由于A为n阶正定矩阵,故存在正交矩阵U,使得 [*] 这里,0<λ
1
≤λ
2
≤…≤λ
n
为A的全部特征值. 取[*] 则[*] 并且H仍为正定矩阵. 如果存在另一个正定矩阵H
1
,使得A=H
1
2
,对于H
1
,存在正交矩阵U
1
,使得 [*] 从而[*] 这里0<μ
1
2
≤μ
2
2
≤…≤μ
n
2
为A的全部特征值.故μ
i
2
=λ
i
(i=1,2,…,n),于是μ
i
=[*](i=1,2,…,n), 从而[*] 由于A=H
2
=H
1
2
,故[*] [*] 则λ
i
p
ij
=λ
i
p
ij
(i,j=1,2,…,n),当λ
i
≠λ
j
时,p
ij
=0,这时[*](i,j=1,2,…,n);当λ
i
=λ
j
时,当然有[*](i,j=1,2,…,n).故 [*] 即H=H
1
.
解析
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0
考研数学三
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