设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H2．

admin2016-09-19 120

问题设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H²．

选项

答案由于A为n阶正定矩阵，故存在正交矩阵U，使得 [*] 这里，0＜λ₁≤λ₂≤…≤λ_n为A的全部特征值．取[*] 则[*] 并且H仍为正定矩阵．如果存在另一个正定矩阵H₁，使得A=H₁²，对于H₁，存在正交矩阵U₁，使得 [*] 从而[*] 这里0＜μ₁²≤μ₂²≤…≤μ_n²为A的全部特征值．故μ_i²=λ_i(i=1，2，…，n)，于是μ_i=[*](i=1，2，…，n)，从而[*] 由于A=H²=H₁²，故[*] [*] 则λ_ip_ij=λ_ip_ij(i，j=1，2，…，n)，当λ_i≠λ_j时，p_ij=0，这时[*](i，j=1，2，…，n)；当λ_i=λ_j时，当然有[*](i，j=1，2，…，n)．故 [*] 即H=H₁．

解析

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