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设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )
设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )
admin
2016-04-11
53
问题
设α
1
，α
2
，α
3
均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α
1
+kα
3
，α
2
+lα
3
线性无关是向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关的( )
选项
A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
记向量组(I)：α
1
+kα
2
，α
2
+kα
3
；
向量组(Ⅱ)：α
1
，α
2
，α
3
．
(I)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：
[α
1
+kα
3
，α
2
+kα
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
当(Ⅱ)线性无关时．矩阵[α
1
，α
2
，α
3
]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵
的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(I)线性无关，所以，(I)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．
但(I)线性无关不是(II)线性无关的充分条件，例如当k=l=0时，(I)线性无关即向量组α
1
，α
2
线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/55w4777K
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考研数学一
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