设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布． (1)求(X，Y)的相关系数ρ； (2)问X和Y是否独立?

admin2018-06-30 56

问题设随机变量(X，Y)在圆域χ²＋y²≤r²上服从联合均匀分布．
(1)求(X，Y)的相关系数ρ；
(2)问X和Y是否独立?

选项

答案由题意，(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝[*]，若χ²＋y²≤r²(别处为0) 则关于X的边缘密度为f_X(χ)＝∫_－∞^＋∞f(χ，y)dy 当｜χ｜＞r时，f_X(χ)＝0；当｜χ｜≤r时， [*] 完全同理类似，得关于Y的边缘概率密度为 [*] 同理，EY＝0 而E(XY)＝[*] 以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到．于是cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0， [*] 故X与Y不独立．

解析

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