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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=2(a1χ1+a2χ2+a3χ3)2+(b1χ2+b2χ2+b3χ3)2, 记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (2)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=2(a1χ1+a2χ2+a3χ3)2+(b1χ2+b2χ2+b3χ3)2, 记 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (2)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12
admin
2016-05-09
59
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2(a
1
χ
1
+a
2
χ
2
+a
3
χ
3
)
2
+(b
1
χ
2
+b
2
χ
2
+b
3
χ
3
)
2
,
记
(1)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
;
(2)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
(1)f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2(a
1
χ
1
+a
2
χ
2
+a
3
χ
3
)
2
+(b
1
χ
1
+b
2
χ
2
+b
3
χ
3
)
2
=2(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*](a
1
,a
2
,a
3
)[*]+(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*](b
1
,b
2
,b
3
)[*] =(χ
1
,χ
2
,χ
3
)(2αα
T
)[*]+(χ
1
,χ
2
,χ
3
)(ββ
T
)[*] =(χ
1
,χ
2
,χ
3
)(2αα
T
+ββ
T
)[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
. (2)设A=2αα
T
+ββ
T
,由|α|=1,β
T
α=0,则 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α|α|
2
+ββ
T
α=2α, 所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量; Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
β+β|β|
2
=β, 所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量. 而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2, 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值.故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
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0
考研数学一
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