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有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
admin
2014-01-26
53
问题
有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).
(1)根据t时刻液面的面积,写出t与ψ(y)之间的关系式;
(2)求曲线x=ψ(y)的方程.
(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分)
选项
答案
(1)设在t时刻。液面的高度为y,则由题设知此时液面的面积为πψ
2
(y)=4π+πt,从而t=ψ
2
(y)-4. (2)液面的高度为y时,液体的体积为π∫
0
y
ψ
2
(u)du=3t=3ψ
2
(y)-12. 上式两边对y求导,得 πψ
2
(y)=6ψ(y)ψ’(y),即 πψ(y)=6qψ’(y). 解此方程,得 [*],其中C为任意常数, 由ψ(0)=2知C=2, 故所求曲线方程为 [*].
解析
[分析] 液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大,因此t时刻液面面积应为2
2
π+πt,而液面为圆,其面积可直接计算出来,由此可导出t与ψ(y)之间的关系式;又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算,已知t时刻的液体体积为3t,它们之间也可建立积分关系式,求导后转化为微分方程求解即可.
[评注] 作为应用题,本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6m34777K
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考研数学二
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