设A是3×3矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，且线性无关，已知 Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)证明Aα1，Aα2，Aα3线性无关；(2)求｜A｜．

admin2018-09-25 39

问题设A是3×3矩阵，α₁，α₂，α₃是3维列向量，且线性无关，已知
Aα₁=α₂+α₃，Aα₂=α₁+α₃，Aα₃=α₁+α₂．
(1)证明Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关；(2)求｜A｜．

选项

答案(1)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=[α₂+α₃，α₁+α₃，α₁+α₂] =[α₁，α₂，α₃] [*] [α₁，α₂，α₃]C，其中 [*] C是可逆矩阵．故Aα₁，Aα₂，Aα₃和α₁，α₂，α₃是等价向量组，故Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关． (2)[Aα₁，Aα₂，Aα₃]=A[α₁，α₂，α₃]=[α₁，α₂，α₃] [*] 两边取行列式，得 [*]

解析

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