n维列向量组α1，…，αn-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，…，αn-1，β线性无关．

admin2022-11-04 86

问题 n维列向量组α₁，…，α_n-1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α₁，…，α_n-1，β线性无关．

选项

答案令k₀β+k₁α₁+…+k_n-1α_n-1=0．由α₁，…，α_n-1与非零向量β正交及(β，k₀β+k₁α₁+…+k_n-1α_n-1)=0得k₀(β，β)=0，因为β为非零向量，所以(β，β)=｜β｜²＞0，于是()₀=0，故k₁α₁+…+k_n-1α_n-1=0。由α₁，…，α_n-1线性无关得k₁=…k_n-1=0，于是α₁，…，α_n-1，β线性无关．

解析

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