2. 考研
  3. (02年)设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2＋2A＝O，A的秩r(A)＝2． (1)求A的全部特征值； (2)当志为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

(02年)设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2＋2A＝O，A的秩r(A)＝2． (1)求A的全部特征值； (2)当志为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．

admin2021-01-25  42
问题 (02年)设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2＋2A＝O，A的秩r(A)＝2．
    (1)求A的全部特征值；
    (2)当志为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．
选项
答案(1)设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为α，则Aα＝λ，α≠0；A2α＝λ2α． 于是(A2＋2A)α＝(λ2＋2λ)α 由条件A2＋2A＝O，推知 (λ2＋2λ)α＝O 又由于α≠O，故有 λ2＋2λ＝0 解得λ＝－2，λ＝0 因为实对称矩阵A必可对角化，且r(A)＝2，所以 [*] 因此，矩阵A的全部特征值为λ1＝λ2＝－2，λ3＝0． (2)实对称矩阵必可用正交矩阵化为对角矩阵，故存在正交矩阵P，使 P-1AP＝PTAP＝[*] 从而有P-1(A＋kE)P＝PT(A＋kE)P＝[*] 即A＋kE与矩阵D合同，因合同的矩阵有相同的正定性，故A＋kE为正定矩阵[*]D为正定矩阵[*]D的各阶顺序主子式都大于零[*]k－2＞0，(k－2)2＞0，(k－2)2k＞0[*]＞2，因此，当k＞2时，A＋kE为正定矩阵．
解析
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考研数学三

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