二次型xtAx正定的充要条件是

admin2019-05-15 46

问题二次型x^tAx正定的充要条件是

选项 A、负惯性指数为零．
B、存在可逆矩阵P，使P^－1AP＝E．
C、A的特征值全大于零．
D、存在n阶矩阵C，使A＝C^TC．

答案C

解析 (A)是正定的必要条件．若f(x₁＋x₂＋x₃)＝x₁²＋5x₃²，虽q＝0，但f不正定．
(B)是充分条件．正定并不要求特征值全为1．虽A＝

不和单位矩阵E相似，但二次型x^TAx正定．
(D)中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E合同，例如C＝

，A＝C_TC＝

，则 x^TAx不正定．

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