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设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.
设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.
admin
2018-07-26
71
问题
设向量α
1
,α
2
,…,α
t
是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α
1
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
设有一组数k
0
,k
1
,…,k
t
.使得 k
0
β+k
1
(β+α
1
)+…+k
t
(β+α
t
)=0 即(k
0
+k
1
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aα
i
=0(i=1,…,t),得 (k
0
+k
1
+…+k
t
)Aβ=0 因为Aβ≠0,所以有 k
0
+k
1
+…+k
t
=0 (**) 代入(*)式,得 k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0 由于向量组α
1
,…,α
t
是方程组Ax=0的基础解系,所以 k
1
=…=k
t
=0 因而由(**)式得k
0
=0.因此,向量组β,β+α
1
,…,β+α
t
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AHW4777K
0
考研数学三
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