设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.

admin2018-07-26  49

问题 设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,向量β不是方程组AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.

选项

答案设有一组数k0,k1,…,kt.使得 k0β+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0 即(k0+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0 (*) 用矩阵A左乘(*)式两端并注意Aαi=0(i=1,…,t),得 (k0+k1+…+kt)Aβ=0 因为Aβ≠0,所以有 k0+k1+…+kt=0 (**) 代入(*)式,得 k1α1+…+ktαt=0 由于向量组α1,…,αt是方程组Ax=0的基础解系,所以 k1=…=kt=0 因而由(**)式得k0=0.因此,向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.

解析
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