(Ⅰ)证明:方程x=1+2ln x在(e,+∞)内有唯一实根ξ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上,取x0∈(e,ξ),令xn=1+2ln xn-1(n=1,2,…),证明:xn=ξ.

admin2022-04-27  45

问题 (Ⅰ)证明:方程x=1+2ln x在(e,+∞)内有唯一实根ξ;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上,取x0∈(e,ξ),令xn=1+2ln xn-1(n=1,2,…),证明:xn=ξ.

选项

答案(Ⅰ)令f(x)=x-1-2ln x,则f(e)=e-3<0,且 [*] 故由零点定理,可知f(x)=0在(e,+∞)内至少有已个实根. 又由于 [*] 故f(x)=0在(e,+∞)内有唯一实根,记为ξ. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当c∈(e,ξ)时,f(x)<0,即 1+2ln x>x, 故当e<x0<ξ时, x1=1+2ln x0>x0, x1=1+2ln x0<1+2ln ξ=ξ. 假设xn>xn-1,且xn<ξ,则有 xn=1=1+2ln xn>xn, xn+1=1+2ln xn<1+2ln ξ=ξ, 故由数学归纳法,可知{xn}单调增加有上界,故[*]xn存在,记[*]xn=A 对xn=1+2ln xn-1左右两端同时取极限,有A=1+2ln A.即A为方程x=1+2ln x的实根. 由(Ⅰ),可知[*]xn=A=ξ.

解析
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