2. 考研
  3. 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜．设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)．证明： (I)级数(xn+1一xn)绝对收敛； (II)存在，且0＜＜2．

已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜．设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)．证明： (I)级数(xn+1一xn)绝对收敛； (II)存在，且0＜＜2．

admin2021-01-15  25
问题 已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0＜f’(x)＜．设数列{xn}满足xn+1=f(xn)(n=1，2，…)．证明：
(I)级数(xn+1一xn)绝对收敛；
(II)存在，且0＜＜2．
选项
答案(I)因为xn+1=f(xn)，所以｜xn+1一xn｜=｜ f(xn)一f(xn－1)｜—｜f’(ξ)(xn－xn-1)｜，其中ξ介于xn与xn－1之间．又0＜f’(x)＜[*]，所以｜xn+1一xn｜≤[*]｜xn－xn－1｜≤…≤[*]｜x2－x1｜．由于级数[*]｜x2－x1｜收敛，所以级数[*](xn+1一xn)绝对收敛． (Ⅱ)设[*](xn一xn)的前n项和为Sn，则Sn=xn+1－x1．由(Ⅰ)知，[*]存在，即[*](xn+1－x1)存在，所以[*]存在．设[*]=c，由,xx+1=f(xn)及f(x)连续，得c=fc，即c是g(x)=x－f(x)的零点． 因为g(0)=一1，g(2)=2一f(2)=1一[f(2)一f(O)]=1—2f’(η)>0，其中θ∈(0，2)，且g’(x)=1一f’(x)>0，所以g(x)存在唯一零点，且零点位于区间(0，2)内．于是0＜c＜2，即0＜[*]＜2．
解析
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考研数学一

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