已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。

admin2018-12-29 74

问题已知二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程η²+4ζ²=4，求a，b的值和正交矩阵P。

选项

答案根据题意，矩阵[*]是相似的，则tr(A)=tr(B)，从而2+a=5，a=3。又因为｜A｜=｜B｜，所以b=1。此时，矩阵A=[*]，特征值为λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4。由(λ_iE—A)x=0，可得属于特征值λ₁=0，λ₂=1，λ₃=4的特征向量分别为 α₁=(1，0，—1)^T，α₂=(1，—1，1)^T，α₃=(1，2，1)^T。将α₁，α₂，α₃单位化，得到 [*] 令P=[*]，即P为所求的正交矩阵。

解析

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考研数学一

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