设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期

admin2018-09-20 45

问题设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：
(1)∫_a^a+Tf(x)dx=∫₀^Tf(x)dx(a为任意实数)；
(2)∫₀^xf(t)dt以T为周期

∫₀^Tf(x)dx=0；
(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T

∫₀^Tf(x)dx=0．

选项

答案(1)[*]=f(a+T)一f(a)=0，故 ∫_a^a+Tf(x)dx=∫_a^a+Tf(x)dx|_a=0=∫₀^Tf(x)dx． (2)∫₀^xf(t)dt以T为周期[*]∫₀^x+Tf(t)dt—∫₀^xf(t)dt=∫₀^x+Tf(t)dt[*]∫₀^Tf(t)dt=0． (3)由∫f(x)dx=∫₀^xf(t)dt+C，易知此命题成立．

解析

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