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已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+332+2ax2x3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵P.
已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+332+2ax2x3(a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵P.
admin
2018-07-27
47
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+3
3
2
+2ax
2
x
3
(a>0)通过正交变换化成标准形f=y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
,求参数a及所用的正交变换矩阵P.
选项
答案
f的矩阵A=[*],标准形的矩阵为D=[*],因P
-1
AP=P
T
AP=D,知A的特征值为1,2,5,由1×2×5=|A|=2(9-a
2
),[*]a=2.计算可得属于1,2,5的单位特征向量分别可取为[*](0,1,-1)
T
,(1,0,0)
T
,[*](0,1,1)
T
,于是所用正交变换的矩阵可取为 [*]
解析
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考研数学三
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