(1998年试题，六)计算其中∑为下半球面z=一的上侧，a为大于零的常数．

admin2021-01-15 11

问题 (1998年试题，六)计算

其中∑为下半球面z=一

的上侧，a为大于零的常数．

选项

答案计算第二型曲面积分通常可利用高斯公式或将曲面积分投影于平面区域上化为二重积分来计算，本题中积分曲面∑不满足直接应用高斯公式的条件，因此先将∑补上一部分，即设S₁为[*]其法向量沿z轴负向。从而得到[*]其中Ω是∑+S₁所围成的空间区域，D是z=0上的区域：x²+y²≤a²，则[*]解析二在原积分表达式中，已将∑下半球面方程代入，这是因为积分是在∑上进行，这样一来大大简化了计算．此外，若采取分项投影化为二重积分来计算的方法，也可得到同样结果．[*]分别计算两个部分：第一部分[*]其中D_xy为yOz平面上半圆：y²+z²≤a²，z≤0，采用极坐标，有[*]第二部分[*]其中D_zy为xOy平面上的圆：x²+y²≤a²，同样采用极坐标，有[*]综上，原式=[*]

解析

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考研数学一

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