2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)

admin2019-11-25  58
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，且f’＋(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)<0．
选项
答案因为[*]＝f’＋(a)＞0，所以存在δ＞0，当0＜x－a＜δ时，有[*]＞0，从而f(x)＞f(a)，于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)＝0． 由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ1)＝[*]＞0，f’(ξ2)＝[*]＜0． 再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得 f”(ξ)＝[*]＜0．
解析
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考研数学三

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