计算n阶行列式，其中α≠β。

admin2019-01-19 34

问题计算n阶行列式

，其中α≠β。

选项

答案令 [*] 则将该行列式按第一行展开得 D_n=(α+β)D_n-1一α[*] 再将上式中后面的n一1阶行列式按照第一列展开得D_n=(α+β)D_n-1一αβD_n-2，则 D_n一αD_n-1=β(D_n-1—αD_n-2)=β(D_n-2一αD_n-3)=…=β^n-2(D₂一αD₁) =β^n-2[(α²+β+β²)一α(α+β)]=βⁿ，即D_n一αD_n-1=βⁿ， (1) 类似地，有 D_n一βD_n-1=αⁿ， (2) (1)×β一(2)×α可得(β—a)D_n=βⁿ⁺¹一αⁿ⁺¹，所以D_n=[*] (其中上式还可以进一步化简为D_n=[*]=βⁿ+β^n-1α+β^n-2α²+…+βα^n-1+αⁿ=[*])。

解析

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