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  3. [2016年] 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )．

[2016年] 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )．

admin2021-01-25  51
问题 [2016年]  设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=(    )．
选项 A、6
B、8
C、14
D、15
答案C
解析 解一  直接利用命题3．4．1．1(1)求之．由X～N(1，2)得到E(X)=1，D(X)=2；由Y～N(1，4)得到E(Y)=1，D(Y)=4．故
    D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)=2×4+12×4+12×2=14．
仅(C)入选．
    解二  利用方差和期望的性质求之．
    D(XY)=E(XY)2－[E(XY)]2=E(X2Y2)=[E(XY)]2
因X，Y相互独立，则  E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)，
而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3，  E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5，即
             E(X2Y2)=15，又E(XY)=E(X)E(Y)=1×1=1，
故  D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2=15－1=14．
   仅(C)入选．
    注：命题3．4．1．1  (1)设随机变量X，Y相互独立，则 D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)≥D(X)D(Y)；
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考研数学三

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