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设f(x)在(a,b)内可导,证明:对于x,x0∈(a,b)且x≠x0时,f’(x)在(a,b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x-x0)>f(x). (*)
设f(x)在(a,b)内可导,证明:对于x,x0∈(a,b)且x≠x0时,f’(x)在(a,b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x-x0)>f(x). (*)
admin
2019-03-12
65
问题
设f(x)在(a,b)内可导,证明:对于
x,x
0
∈(a,b)且x≠x
0
时,f’(x)在(a,b)单调减少的充要条件是
f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)>f(x). (*)
选项
答案
充分性:设(*)成立,[*]x
1
,x
2
∈(a,b)且x
1
<x
2
,则 f(x
2
)<f(x
1
)+f’(x
1
)(x
2
-x
1
),f(x
1
)<f(x
2
)+f’(x
2
)(x
1
-x
2
). 两式相加可得[f’(x
1
)-f’(x
2
)](x
2
-x
1
)>0,于是由x
1
2知f’(x
1
)>f’(x
2
),即f’(x)在(a,b)单调减少. 必要性:设f’(x)在(a,b)单调减少.对于[*]x,x
0
∈(a,b)且x≠x
0
,由微分中值定理得 f(x)-[f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)]=[f’(ξ)-f’(x
0
)](x-x
0
)<0, 其中ξ在x与x
0
之间,即(*)成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FgP4777K
0
考研数学三
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