设f(x)在(a,b)内可导,证明:对于x,x0∈(a,b)且x≠x0时,f’(x)在(a,b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x-x0)>f(x). (*)

admin2019-03-12  37

问题 设f(x)在(a,b)内可导,证明:对于x,x0∈(a,b)且x≠x0时,f’(x)在(a,b)单调减少的充要条件是
           f(x0)+f’(x0)(x-x0)>f(x).    (*)

选项

答案充分性:设(*)成立,[*]x1,x2∈(a,b)且x1<x2,则 f(x2)<f(x1)+f’(x1)(x2-x1),f(x1)<f(x2)+f’(x2)(x1-x2). 两式相加可得[f’(x1)-f’(x2)](x2-x1)>0,于是由x12知f’(x1)>f’(x2),即f’(x)在(a,b)单调减少. 必要性:设f’(x)在(a,b)单调减少.对于[*]x,x0∈(a,b)且x≠x0,由微分中值定理得 f(x)-[f(x0)+f’(x0)(x-x0)]=[f’(ξ)-f’(x0)](x-x0)<0, 其中ξ在x与x0之间,即(*)成立.

解析
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