2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’－(b)＞0， 且g(x)≠0(x∈[a,b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’－(b)＞0， 且g(x)≠0(x∈[a,b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．

admin2018-01-23  59
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f’＋(a)f’－(b)＞0，
且g(x)≠0(x∈[a,b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．
选项
答案设f’＋(a)＞0，f’－(b)＞0， 由f’＋(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)＝0； 由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)＝0， 因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0． 令h(z)＝[*]，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0， 存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)＝h’(ξ)＝0， [*] 令φ(x)＝f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得φ’(ξ)＝0， 而φ’(x)＝f’’(x)g(x)－f(x)g’’(x)，所以[*]．
解析
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考研数学三

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