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  3. [2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． 证明α1，α2，α3线性无关；

[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． 证明α1，α2，α3线性无关；

admin2019-04-28  65
问题 [2008年]  设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．
证明α1，α2，α3线性无关；
选项
答案证一 用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα3=α2+α3易想到需用A同时左乘定义等式两边． 设 k1α1+k2α2+k3α3=0． ① 由题设，有Aα1=一α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3．用A左乘式①两边，得到 k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3=一k1α1+k2α2+k3α2+k3α3=0． ② 本题中隐含了α1与α2线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k1=k2=k3=0． 由式①一式②得到2k1α1一k2α2=0．因α1，α2为A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关．因而k1=k3=0，将其代入式①得到k2α2=0，又因α≠0，故k2=0．于是α1，α2，α3线性无关． 证二 用反证法证之．假设α1，α2，α3线性相关，由证一知，α1与α2线性无关，故α3可由α1，α2线性表出，不妨设α3=l1α1+l2α2，其中l1，l2不全为零(若l1，l2同时为零，则α3=0， 由Aα3=α2+α3得到α2=0，这与α2为特征向量矛盾)．因Aα1=一α1，Aα2=α2，故 Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2． 又 一l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2， 即 α2+2l1α1=0， 则α1与α2线性相关．这与α1，α2线性无关矛盾．故α1，α2，α3线性无关．
解析
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考研数学三

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